理想氣體絕熱可逆膨脹-公式推導

理想氣體絕熱可逆膨脹之熱力學公式，

推導過程如下。γ＝Cp/Cv，

欲推導式子如下。詳細推導過程，

詳手寫稿，點我。

注意：手寫稿可逆反應含義未更新，

請參閱部落格

如圖片過小，請點圖片進入原圖。

1.＝常數

2.＝常數

3.=常數

 

1.根據熱力學第一定律，能量守恆

   令ΔE=q+w，ΔE：能量；q=熱量，w=功

   因1.絕熱，q=0。

　　2.可逆反應,在任何時間點

            外力施加的壓力=氣體抗衡的壓力

            (含義已更正)

   故dE=dq+dw=0+dw=dw

 

步驟二、w=-pdV；理想氣體E=nCvΔT，此時

 

步驟三、兩邊的n消去，並將右方的(T)移項。

 

步驟四、雙邊作定積分，

左方區間T1至T2；右方區間V1至V2

 

步驟五、將值帶入，其中右式的負號，

變成(V1/V2)的負1次方，此時分母和分子顛倒，

也就是V2/V1

 

步驟六、對數特性，將兩邊的常數(Cv和R)，

移至次方。

 

步驟七、兩式相等，代表ln裡面的值相等，如下。

其中Cp-Cv=R

 

步驟八、將兩邊開Cv根號，也就是次方處除以Cv，

並令γ=Cp/Cv

 

步驟九、根據理想氣體方程式：

PV=nRT→PV/T=常數

故T1/T2=(P1V1)/(P2V2)，代入左式，(*)

 

步驟十、左式V1/V2移到右式，變成(V2/V1)。

此時(V2/V1)次方，從γ-1→(γ-1)+1=γ，如下。

左右式再次移項整理，整理成下式。

 

步驟十一、得到(式一)

＝常數

 

//推導式二

1.在步驟九，提及下圖的上式。

  將兩邊移項整理，便得下式。

2.從上述步驟，便得知式二結論：

＝常數

 

//推導式三，從式二推導

1.＝常數

   根據理想氣體方程式

　PV=nRT→V=nRT/P，代入式二

2.整理式子，由於RT是常數，兩邊除以RT，

   結果都是常數。將T項和P項拆開，利於整理。

3.將兩式開γ，變成式三。

=常數

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R1 20200404

R2 20200405 更正可逆反應意涵