競賽得獎的人不能高興太早！

從四個現代化看數學教學

關肇直

關肇直（1919-1982），廣東省南海縣人，數學家，系統與控制學家，科學院院士，現代控制理論的開拓者與傳播人，科學院系統科學研究所的第一任所長。

關肇直1941年畢業於燕京大學數學系；1947年赴法留學，師從大數學家、一般拓樸學和泛函分析的奠基人M·弗雷歇（Frechet）院士研究泛函分析；1949年新成立，他中斷學業，回到祖國，回國后即和別的同志一起協助郭沫若進行組建科學院的籌備工作；1952年參加籌建科學院數學研究所的工作；1979年參與科學院系統科學研究所的創建；1982年11月12日在北京逝世。

關肇直一生致力於數學、控制科學和系統科學的研究和發展，從六十年代開始，為了軍工和航天等事業的發展，他投入到現代控制理論的研究、推廣和應用工作，在人造衛星測軌，導彈制導，潛艇控制等項目中作出一系列重要貢獻。

對從事中學數學教學工作的同志我一直懷著很大的敬意, 因為這項工作與很多方面都有關係。就是說,如果中學辦得好科學技術事業就有比較好的基礎;反過來, 中學如果搞得不好,青年時期沒有打下好的基礎, 今後大學、科技陣線都上不去, 這個道理其實大家都是很清楚的。國外的情況, 這方面很突出的就是法國他們對中學教師要求高中學教師社會地位也高中學基礎就很好他們的大學、科學技術就有比較好的基礎。

因為自己脫離中學教學很久了, 青年時期曾做過一個短時期的中學教師, 這些年來, 特別是解放后, 主要擔任科研工作有時也在大學兼點課, 所以離開中學教學較遠, 現在來談, 也不可能談中學教學本身, 主要是談一下從四個現代化看中學數學教學, 為同志們教學提供一點背景材料, 就是說, 在二十世紀八十年代, 我們怎樣看數學這門科學, 從而再回過頭來看應該怎樣看數學教學。

我們當前主要任務是實現四個現代化, 因此, 我準備談下面一些問題。首先談在四個現代化里, 科學技術起什麼作用; 其次談在現代科學技術里, 數學起什麼作用; 最後談當前數學發展的一些特點。希望從這些角度, 捉供一點背景材料, 使大家在從事中學教學過程中, 了解數學當前處在什麼地位, 起什麼作用。黨中央粉碎「 四人幫」 后, 實現工作重心轉移, 搞四個現代化, 這是舉國上下都非常興奮的大事, 是一個偉天的目標。中央負責同志談, 在四化中科學技術現代化是關鍵。實現四個現代化, 當然要付出很大的勞動, 但不是單純憑勞動力就能換取的。四化包括著豐富的內容, 大家拚命干、不睡覺、不休息, 需要有這種忘我的勞動精神, 但光靠提高勞動強度或增加勞動時間, 不見得能夠實現四化。比方說, 在工農業生產上, 加班加點, 固然數量上可能有一定的增加, 但增如的幅度是很有限的, 如果科學技術有一些發明創造, 並應用到工農業生產中去, 那麼, 生產產值將是多少倍的增加, 我們大家很容易認識到這個問題。在資本主義社會剛剛興起的時候,由千工業採用了大機器生產. 使得生產成倍增加, 財富好象泉水從地里湧現出來, 如果我們四化搞好, 工農業生產蓬勃發展。將起一個質的變化, 提高程度不是增加百分之幾的問題, 而是能很大幅度的上升。所以, 關鍵還是要靠科學技術的現代化。另外還有一種系統管理科學。如果管理得好, 可使生產效率增加很多。我們原來是半封建半殖民地的國家, 雖然搞了三十年,畢竟有很多干擾, 特別是林彪、「 四人幫」 的破壞, 使我們有很多地方沒有做好。象系統科學管理. 還剛剛在抓。前幾天《人民日報》登了一篇文章, 提到在各工廠推廣質量控制、質量管理, 在生產上起了相當的作用。這只是具體的技術改迸、新的發明創造等, 如果推廣系統管理整套科學辦法, 使生產可以比較人幅度地上去。所以對於四個現代化, 科學技術現代化是關鍵。這是工農業生產方面。

在國防方面,一個國家要用外國的武器, 總有很大的局限性。在現代戰爭里, 一種新武器出現, 出其不意往往可以起很大的作用; 等到你的武器比較老了, 人家又知道它的性能, 就可以發明新的武器來對付你。近年來各國國防的競賽, 一些工業發達的國家往往是這樣。所以, 如果你用的是外國買來的武器, 就沒有保守秘密可言, 人家知道武器性能想辦法破壞是很容易的。所以在國防方面, 更是需要建立在自己的科學技術基礎上, 把自己的發明創造用到國防上去, 外國人不知道, 這種武器才能發揮較大的作用。這是國防現代化, 它必須建立在自己科學現代化基礎上。所以, 四個現代化中,科學技術現代化是關鍵。

下面談一下,數學在科學技術現代化中的作用。數學是一個很古老的學科, 有幾午年的歷史。數學有廣泛的應用, 比如我們離不開算賬, 離不開寫數字, 無論搞什麼生產總要有些數字,進行加減乘除運算, 只從簡單的數量關係看數學的重要是很不夠的。例如, 我們一談到人口增長總是說, 每年出生率多少, 死亡率多少, 那麼一減就可以知道我們人口增長的情況。其實這種演算法是錯誤的, 因為人口增長是變化的, 用現代數學語言叫做動態的, 人是不斷地生, 生的多少跟原來基數又有關係, 死亡也是這樣, 不是簡單的加減乘除運算, 而是用一個比較複雜的微分方程來描述。最近七機部一位同志, 做了一些這方面的工作。用偏微分方程描述人口增長情況, 從公安部門要到一些數據, 在計算機上進行了計算, 然後畫出好多曲線, 人口增長的情況就非常清楚, 幾十年後人口總額多少, 按年齡的人口分布密度呈現什麼狀態, 每家只生一個孩子如何, 每家只生兩個孩子如何, 很有說服力。所以, 引起國家很多部門的重視。我們談數學在科學技術中的地位, 遠遠不只是加減乘除的用處。

我們講數學的作用, 首先引用恩格斯的一段話。恩格斯在《自然辯證法》里說: 「數學的應用: 在固體力學中是絕對的, 在氣體力學中是近似的, 在液體力學中已經比較困難了; 在物理學中多半是嘗試性的和相對的; 在化學中是最簡單的一次方程式; 在生物學中=0。」這雖然符合一百年前的情況, 但是數學的應用並非永遠如此, 今天已經不是這個情況了。在生物學中, 很多都牽涉到一種周期性的運動, 如脈搏、心臟跳動、血液循環等, 在數學上用一種非線性方程組來描述, 研究它的定量變化, 就是用數學上周期解的出現, 周期解的保持, 來研究所物界這種現象。也就是近年來生物學已經從定性的研究走向定量的研究, 應用的數學是比較高深的數學, 是數學家手中正在發展中的數學。生物學是這樣, 化學也是這樣, 其他學科更是如此。再比如化學工業, 過去認為化學工業不大用數學, 近年來發生很大變化。用數學來定量研究化學反應, 是把參加反應的物質濃度、溫度等做為一個變數。它的變化規律用微分方程或偏微分方程來描述, 研究化學反應就要了解這些方程有幾個穩定解, 穩定解的條件等, 這些問題都屬於發展中的數學。這說明化學工業不僅要用到數學, 而且還用到前沿上的數學。這樣就帶來一個新的問題, 過去念大學化學工業系只學點微積分, 數學就夠用了, 現在不同了。去年有位搞化學工業的同志寫了一篇文章, 用了稍微深一點的數學。這篇稿子在化工界沒人審, 後來轉到我這裡。這說明過去化工界不太了解數學, 現在要求懂數學。因此, 現代很多學科都加上「數學」、「數理」、「計算」等詞, 如數學生態學、數理地震學、計算水力學, 就是把數學的方法、計算的方法用到各門科學中去。現代數學發展的一個趨向就是各門科學都在經歷著數學化的過程。丹麥有個國家水利研究所, 所長是荷蘭人, 號稱計算水利之父, 就是第一個把計算的方法應用到水利中去的人。他們在海洋中作些實測, 收集數據, 然後把這些問題用數學的方程描述出來, 再把數據代進去在計算機上進行計算, 將計算機的結果與實際觀察結果對比, 直到符合為止, 說明數學的描述已經可靠, 這樣再交付實際使用。他們研究的問題, 包括很多方面, 比如海上風暴、水源污染、港口設計等等, 凡是有關海洋的問題, 不僅作定性的研究, 而且作定量的研究。研究的過程就是用數學的方程描述出來, 把數據放進計算機求出解來, 然後再與實際觀測的結果對比驗證, 進而為實際服務。這裡不僅用到數學, 而且用到很深的數學。

當前國外有一種提法:現代各門科學技術正在經歷著數學化的過程。用我們的語言, 就是量變跟質變的相互轉化, 用更確切的話, 就是思格斯在《自然辯證法》中寫的, 在自然界中, 質的變化, 只有通過物質或運動的量的增加或減少才能發生。「 沒有物質或運動的增加或減少,即沒有有關的物體的量的變化, 是不可能改變這個物質的質的。」這說明量變跟質變的相互轉化, 要認識質, 必須通過量的變化來認識。所以研究各門科學都要定量的來研究, 各門科學,發展到一定程度都得要求定量的研究, 所以有的學科用數學較早, 如力學, 有的學科用數學較晚, 如生物學, 但遲早要用到, 否則不能獲得深刻的認識。正如馬克思早就指出過的那樣, 「一種科學只有在成功地運用數學時,才算達到真正完善的地步。」 也就是四化中科學技術是關鍵,在科技中數學又佔據非常突出的地位。因此, 數學很重要, 它對各門科學技術都有關係, 數學教育抓得好壞, 將影響到各門科學技術的發展。

計算機科學的廣泛應用也是當前數學發展的一個趨向。數學在各門科學技術中的作用越來越大原因很多共中之一是各門科學本身發展得越來越成熟另一個原因是電子計算機的出現。電子計算機首先是一個計算工具, 但我反對把計算機只看成一個算盤, 它遠遠不止一個算盤的作用, 電子計算機具有大存儲、高速度的特點, 比如一個工程的設計, 過去需要幾年, 甚至更長的時間。現在用計算機, 只用幾天或幾小時就可以算出來。有些問題從過去的不可能變為可能。計算機還是一個實驗的工具。過去認為數學不是實驗的科學, 有了電子計算就不同了。很複雜的方程從現論上研究比較困難, 但是可以利用電子計算機進行數值求解, 然後把解畫到圖上, 拍成電影, 用靜態的圖把全過程反映出來, 就等於在計算機上作實驗。計算機所起的試驗作用, 是數學家發現真理的試驗工具, 正同生物學家用顯微鏡、夭文學家用望遠鏡一樣, 數學家用電子計算機來發現事實, 然後再進行理論上的分析。電子計算機的另一個作用是可以進行工程上的模擬。向月球發射衛星, 如阿波羅號的對接, 那樣遠距離, 精度要求特別高, 當然可以製造出來, 放到天上去試驗, 失敗了再重來。但失敗一次損失特別大, 一般來說, 就是搞工程上的模擬, 把實驗搞成很多運動方程, 讓計算機進行計算, 雖然給計算機排幾個程序, 進行幾天計算要花很多錢, 但比起衛星放到天上失敗的損失那要節省得多, 而且有些如軍事上也不可能, 有些時間上也不允許。因此, 計算機可以幫助人們搞模擬實驗, 這樣可以大大縮短研製周期, 節省人力物力。

計算機還有一個作用就是可用來完成數學上的證明, 它影響著純數學的發展。例如, 把複雜的四色問題, 化成很多很多小的命題, 然後放進計算機, 逐個進行驗證, 最後得到證明, 這個問題的解決, 為純數學研究開闢了一個新的遠景, 人們可以藉助電子計算機的幫助, 證明數學命題, 使得數學家從證明定理中解放出來, 把精力轉向發展定理、創造定理上去。因此, 電子計算機的出現和發展, 對數學本身結構的改革, 將起著特殊的作用。總之, 各門科學正在經歷著數學化的過程, 數學影響著整個科學技術; 計算機又影響著數學的發展, 給數學提供了計算的工具、實驗的工具、模擬的工具、證明的工具。這樣, 計算機的發展改變著數學的面貌。

最後談一下中學數學教學改革的問題, 我總的體會是從四化看科技, 科技是四化中的關鍵, 再從科技現代化看數學, 數學起的作用很大, 因此數學教育就很重要。我認為數學不光是少數數學家的數學, 我們報紙上一宣傳就是哥德巴赫猜想問題, 我不反對有少數人鑽研這種問題, 鑽研出來為國爭光, 但這種問題不是數學的一切。中學數學教育是培養各方面人才的, 是適應各種崗位的需要的。有的搞工程技術, 有的搞社會科學。但各門科學都在經歷著數學化的過程, 都要用到數學, 我們打下的基礎不是專為讓他當數學家的。因為各行各業上百上千,數學只是其中一行, 數學里純數學又有種種, 哥德巴赫猜想只是其中的一個問題, 有那麼幾個人去搞就不錯了, 美國就沒有人去搞。我們培養的人, 不是都去搞這個,我不贊成象現在這種搞法搞數學競賽考難題心目中想的將來搞哥德巴赫猜想, 攀登高峰。我講不出具體的意見來, 總的意見是我們中學數學教育不光是為培養數學家打基礎, 更不是光培養純數學家,或為做難題的數學打基礎, 而應面向廣大的科學技術人員, 是要著眼於提高全民族的科學文化水平的。還有一個問題要跟青年講清楚, 搞科學的也跟工人農民的勞動一樣, 是多數人的工作,是個集體的事業, 是種辛苦的勞動。由於我們國家科學落後, 一些人總是想, 搞科學的那就是當發明家, 有種浪漫的想法, 因此, 陳景潤的事迹在報上一登之後, 就有很多人來信, 說他已經把哥德巴赫猜想問題證出來了。人們不是下苦功夫踏踏實實地工作。去年福建省數學競賽發獎大會, 讓我到會去講講,我說大家得獎是好事但不能高興得太早。競賽得獎的人離科學技術高峰的路還遠得很並不是做幾個難題將來就成為數學家了。根本不是那麼容易的事。我想中學數學教學還是要踏踏實實地打好基礎不是去迫求做難題當然難題在一定程度上表現一個人的才能但不是唯一的辦法。

數學的發明創造有種種我認為至少有三種:一種是解決了經典的難題是一種很了不起的工作;一種是提出一種新概念、新方法、新理論實際上歷史上起更大作用的、歷史上著名的是這種人;還有一種就是把原來的理論用在嶄新的領域這是從應用的角度有一個很大的發明創造。所以數學上發明創造種種, 不能象有的人傳奇式的說法, 使青年人想人非非, 路子走偏, 這點要告訴青年人, 把精力放到主要的地方, 我覺得要把中學基礎搞好。不贊成搞難題, 不贊成搞競賽。我以上談的只是提供點背景材料供教學參考。